Next.js道場Pages Router で書いていた部品を、App Router のページに持ってきました。use client は付けてあります。ビルドするとどうなりますか。
app/nav.tsx
Buildで実行
'use client' Browserで実行
import { useRouter } from 'next/router' Browserで実行
export default function Nav() {Browserで実行
const router = useRouter()Browserで実行
return <button onClick={() => router.push('/b')}>go</button>Browserで実行
}出典nextjs.org/docs/messages/next-router-not-mountednextjs.org/docs/app/api-reference/functions/use-router